Comment calculer le centre de gravité : guide pratique

Comprendre le concept de centre de gravité

Avant de se lancer dans les calculs ou les expériences, il est crucial de bien saisir ce que représente le centre de gravité. Il s'agit d'un point théorique où l'on peut considérer que tout le poids d'un objet est concentré. Si vous pouviez suspendre un objet par son centre de gravité, il serait en parfait équilibre, quelle que soit son orientation. C'est le point d'application de la force gravitationnelle résultante qui s'exerce sur un corps.

Quelle est la différence avec le centre de masse ?

Dans la vie de tous les jours, les termes centre de gravité et centre de masse (ou centre d'inertie) sont souvent utilisés de manière interchangeable. Le centre de masse est le point moyen de la répartition de la masse d'un objet. Le centre de gravité est le point moyen de la répartition de son poids. Sur Terre, où le champ gravitationnel est considéré comme uniforme à l'échelle d'un objet, ces deux points coïncident. La distinction n'a d'importance que pour des objets de très grande taille, comme une montagne ou une planète, où la gravité varie d'un point à l'autre.

Pourquoi est-il si important ?

La position du centre de gravité est un facteur déterminant pour la stabilité d'un objet. Un objet est stable tant que la verticale passant par son centre de gravité tombe à l'intérieur de sa base de sustentation (la surface délimitée par ses points d'appui). C'est pourquoi la Tour de Pise ne tombe pas (pour l'instant) et pourquoi les voitures de course sont conçues pour être très basses, avec un centre de gravité proche du sol. En sport, les athlètes manipulent intuitivement leur centre de gravité pour optimiser leurs performances, comme un sauteur en hauteur qui cambre son dos pour que son centre de gravité passe sous la barre.

Méthodes expérimentales pour les objets physiques

Pour les objets dont la forme est irrégulière ou dont la densité n'est pas uniforme, une approche expérimentale est souvent la plus simple et la plus directe pour trouver le centre de gravité.

La méthode du fil à plomb pour les objets plats

Cette technique classique est particulièrement efficace pour les objets bidimensionnels ou laminaires, comme une plaque de métal ou un morceau de carton découpé. Le matériel nécessaire est simple : l'objet, un point de suspension (un clou, une punaise), et un fil à plomb (une ficelle lestée d'un petit poids).

Étape 1 : Suspendre l'objet. Percez un trou près du bord de votre objet et suspendez-le librement à un clou pour qu'il puisse pivoter. Attendez qu'il s'immobilise.
Étape 2 : Tracer la première ligne. Suspendez le fil à plomb au même clou. La ficelle indiquera la verticale. Une fois le fil stabilisé, tracez soigneusement cette ligne verticale sur votre objet à l'aide d'un crayon et d'une règle. Le centre de gravité se situe quelque part sur cette ligne.
Étape 3 : Choisir un nouveau point de suspension. Décrochez l'objet et suspendez-le par un autre point, de préférence éloigné du premier (par exemple, à 90 degrés).
Étape 4 : Tracer la deuxième ligne. Répétez l'opération : attendez que l'objet soit stable, suspendez le fil à plomb et tracez la nouvelle verticale sur l'objet.
Étape 5 : Localiser le centre de gravité. Le point d'intersection des deux lignes que vous avez tracées est le centre de gravité de votre objet. Pour plus de précision, vous pouvez répéter l'opération avec un troisième point de suspension ; les trois lignes devraient se croiser au même endroit.

Calcul mathématique du centre de gravité

Lorsque la géométrie et la distribution de la masse d'un objet sont connues, on peut déterminer son centre de gravité par le calcul. C'est la méthode privilégiée en ingénierie et en conception assistée par ordinateur (CAO).

Pour des formes géométriques simples et uniformes

Si un objet a une forme géométrique régulière et une densité uniforme (il est fait du même matériau partout), son centre de gravité coïncide avec son centre géométrique, ou centroïde. La localisation est alors intuitive :

Ligne droite : Au milieu du segment.
Rectangle ou carré : À l'intersection des diagonales.
Cercle ou disque : Au centre géométrique.
Triangle : Au point d'intersection de ses médianes (les segments qui relient un sommet au milieu du côté opposé). Ce point, appelé barycentre, se situe aux deux tiers de la longueur de chaque médiane en partant du sommet.

Pour un système de points discrets

Imaginons un système composé de plusieurs masses ponctuelles. Pour trouver le centre de gravité (noté CG) de ce système, on utilise une moyenne pondérée des positions de chaque masse. Les coordonnées (X_CG, Y_CG) sont données par les formules :

X_CG = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + m_nx_n) / (m₁ + m₂ + ... + m_n)

Y_CG = (m₁y₁ + m₂y₂ + ... + m_ny_n) / (m₁ + m₂ + ... + m_n)

Exemple pratique : Imaginez une haltère simplifiée constituée de deux masses. Une masse m₁ = 5 kg est en position x₁ = 2 et une masse m₂ = 10 kg est en position x₂ = 8. La tige qui les relie a une masse négligeable. Le centre de gravité se trouvera sur l'axe des x à la position :
X_CG = (5 * 2 + 10 * 8) / (5 + 10) = (10 + 80) / 15 = 90 / 15 = 6. Le point d'équilibre est à x = 6.

Pour des objets composites

C'est la méthode la plus puissante pour les objets de formes complexes mais qui peuvent être décomposés en formes simples. La stratégie consiste à diviser, calculer, puis combiner.

Décomposer l'objet : Séparez l'objet complexe en plusieurs formes simples non superposées (rectangles, triangles, cercles...).
Calculer les propriétés de chaque forme : Pour chaque forme simple, déterminez son aire (ou son volume/masse si la densité n'est pas uniforme) et les coordonnées de son propre centre de gravité.
Appliquer la formule des points discrets : Traitez chaque forme simple comme une masse ponctuelle située à son propre centre de gravité. L'aire (ou le volume) de la forme joue le rôle de la "masse" dans la formule de la moyenne pondérée.

Exemple avec une forme en L : Considérons une équerre formée de deux rectangles. Un rectangle vertical (A) de 6 cm de haut et 2 cm de large, et un rectangle horizontal (B) de 4 cm de large et 2 cm de haut, attaché à la base du premier. Plaçons l'origine (0,0) au coin inférieur gauche.

Rectangle A : Aire A_A = 6 * 2 = 12 cm². Son centre de gravité est à (x_A, y_A) = (1, 3).
Rectangle B : Il s'étend de x=2 à x=6. Aire A_B = 4 * 2 = 8 cm². Son centre de gravité est à (x_B, y_B) = (4, 1).
Calcul du CG global :
- X_CG = (A_A * x_A + A_B * x_B) / (A_A + A_B) = (12 * 1 + 8 * 4) / (12 + 8) = (12 + 32) / 20 = 44 / 20 = 2,2 cm.
- Y_CG = (A_A * y_A + A_B * y_B) / (A_A + A_B) = (12 * 3 + 8 * 1) / (12 + 8) = (36 + 8) / 20 = 44 / 20 = 2,2 cm.

Le centre de gravité de la forme en L se trouve donc au point (2,2 ; 2,2).